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1. 一元二次函数/方程 —- 十字相乘法
2. 基本因式分解
\begin{aligned} a^2 - b^2 &= (a+b)(a-b) \\ (a \pm b)^2 &= a^2 \pm 2ab + b^2 \\ (a \pm b ) ^3 &= a^3 \pm 3 a^2 b + 3 a b^2 \pm b^3 \\ (a \pm b )^4 &= a^4 \pm 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 \pm 4 a^3b + b^4 \\ b^n-a^n&=(b-a)(b^{n-1}a^0+b^{n-2}a^1+...+b^0a^{n-1}) \end{aligned}
3. 绝对值问题
|a| = \begin{cases} a , \quad a >0 \\ 0 , \quad a = 0 \\ -a, \quad a<0 \end{cases} \quad \qquad |a| = \sqrt{a^2} \quad \quad
4. 一元二次方程: y = a x^2 + b x + c \quad (a\neq 0)
求根公式: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \quad (求根公式) 韦达定理: \begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}
5.如何快速的对一元三次函数进行因式分解
ax^3 + b x^2 + cx + d
方法一: 直接利用公式化简, 比如: 立方和,立方差, 和(差)的立方
立方和公式: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式: a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2)
和的立方: (a + b ) ^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3
差的立方: (a - b ) ^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3
方法二: 尝试法
- ①如果方程为整系数多项式, 而\frac{r}{s}是它的一个有理根, 其中 s|a, r|d ,
- 特别的, a=1, 则三次方程的有理根一定是d的因子
- 如果步骤①能找到有理根, 则可以利用待定系数法进行分析
- ①如果方程为整系数多项式, 而\frac{r}{s}是它的一个有理根, 其中 s|a, r|d ,
方法三: 如果方法二失败了, 则该函数不能进行有理数的因式分解(PS, 高中不讨论无理数的因式分解)
5.1 一元三次进行因式(求根)分解 — 例子
① x^3-x^2-2 x+2 =0
分析: 因此三次项系数为1(即a=1), 故该方程的有理根一定是2的因子, 故有 \pm 1, \pm 2
我们可以把\pm 1, \pm 2 带入 x^3-x^2-2 x+2 中, 如果该式子为等于0 , 则一定为因子,
不难发现, 这个方程的有理根只有1
(待定系数法) 方程左边可以写成, (下列系数A为待定,其中三次项系数和常数项系数可以直接参考给出) \begin{aligned} x^3-x^2-2 x+2 &= (x-1)(x^2 + A\cdot x -2) \\ x^3-x^2-2 x+2 &= x^3 + A\cdot x^2 -2x - x^2 - A \cdot x +2 \\ x^3-x^2-2 x+2 &= x^3 + (A -1)\cdot x^2 -(2 + A) \cdot x +2 \quad(合并同类项) \end{aligned} 所以, 方程的左边系数 理论上应该等于 方程右边的系数, 故 \begin{cases} -1 = A - 1\\ 2 = 2 + A \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A = 0 故, 可以有如下因式分解 x^3-x^2-2 x+2 = (x-1)(x^2 -2) = 0
② 3 x^3+x^2+x-2 =0
分析: 由于三次项的系数不为1, 故该方程的有理根只有可能是: \pm 1, \pm 2 ,\pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{2}{3}.
可以验证, 只有 \dfrac{2}{3} 是该方程的有理根
(待定系数法) 方程左边可以写成, (下列系数A为待定,其中三次项系数和常数项系数可以直接参考给出) \begin{aligned} 3 x^3+x^2+x-2 &= (x - \dfrac{2}{3})(3x^2 + A x + 3) \\ 3 x^3+x^2+x-2 &= 3x^3 + A x^2 + 3x - 2x^2 - \dfrac{2}{3}Ax-2 \qquad (展开) \\ 3 x^3+x^2+x-2 &= 3x^3 + (A -2) x^2 + (3 - \dfrac{2}{3}A)x-2 \qquad (合并同类项) \end{aligned} 所以, 方程的左边系数 理论上应该等于 方程右边的系数, 故 \begin{cases} 1 = A - 2\\ 1 = 3 -\frac{2}{3}A \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A = 3 故, 可以有如下因式分解 x^3-x^2-2 x+2 = (x - \dfrac{2}{3})(3x^2 + 3 x + 3) =(3x - 2)(x^2 + x + 1) = 0
练习: 把下列各式分解因式 (1)x^3-3 x^2+4 (2)x^3-2 x+1
- x^3 + x +2 (4) x^3-x^2-x-2